Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,...

^ Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид


Представим, что производится условие . Тогда, так как анализируемая ЦМ является однородной, неприводимой и непериодической, стационарное рассредотачивание этой цепи (если оно существует) удовлетворяет системе уравнений

. (5.12)

Ниже мы Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... найдем решение этой системы , такое что для всех и . В согласовании с аксиомой Фостера (аксиома 4 из раздела 4), рассредотачивание является единственным стационарным рассредотачиванием цепи, которое совпадает с ее эргодическим рассредотачиванием.

С учетом соотношений (5.10), (5.11) формулу (5.12) представим Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... в виде

. (5.13)

Введем в рассмотрение последующие ПФ:

.

Из формулы (5.9) имеем

.

Из соотношения (5.13) следует, что



,

откуда получаем

.

Из условия нормировки



находим, что . Совсем получаем последующее соотношение для ПФ стационарного числа требований, находящихся в системе в моменты Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... окончания обслуживания (выхода требований):

. (5.14)

Последнее выражение именуется формулой Поллачека – Хинчина. Математическое ожидание числа требований при определяется последующим образом:

.

Заметим, что при .

5.5. Рассредотачивание числа требований.

Способ дополнительной переменной


Способом дополнительной переменной найдем стационарное рассредотачивание числа требований Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... в системе в случайный момент времени (т. е. не непременно в моменты выхода требований из системы). Для этого будем рассматривать линейчатый марковский процесс , где – продолжительность промежутка времени от начала обслуживания требования, обслуживаемого в Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... момент t, до самого момента t (функция не определена, если ).

Введем обозначения , ; , . Пользуясь теорией полумарковских процессов (см. п. 5.2), просто показать, что в случае при есть пределы . ПФ числа требований, находящихся в системе Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... в стационарном режиме, определим как . Разумеется, что при имеет место равенство

. (5.15)

Введем в рассмотрение еще одну ПФ:

. (5.16)

Тогда из формулы (5.15) следует, что

. (5.17)

Найдем функцию . Пусть – плотность времени обслуживания (для простоты полагаем Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,..., что она существует, хотя такое предположение не является неотклонимым). Введем обозначение . Функция представляет собой интенсивность обслуживания (см. п. 2.8). Вычислим возможность в случае . Нужным и достаточным условием того, чтоб в системе в момент времени было n Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... требований , и в этот момент имело место включение , является выполнение последующих критерий:


  1. или в момент t в системе было n требований, , дальше в течение времени не было завершено сервис требования, обслуживаемого Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... в момент t, и не поступало в систему других требований; возможность этого действия равна, разумеется,




  1. или в случае в системе в момент времени t находилось требований, и за единиц времени после момента Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... t в систему поступило требование; возможность этого действия равна , где




Так как возможность других событий, которые переводят систему в состояние в течение времени , равна , в конечном итоге получаем

(5.18)

Найдем сейчас возможность . Для Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... того чтоб в системе в момент времени отсутствовали требования, нужно и довольно, чтоб


  1. или в момент времени t в системе отсутствовали требования и в течение времени новые требования не поступали в систему; возможность Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... такового действия равна ;




  1. или в момент t в системе находилось одно требование, которое окончило свое сервис в течение времени , возможность такового действия равна .


Возможность других событий, переводящих систему в состояние , равна . Как следует, в конечном Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... итоге получаем

. (5.19)

Возможность того, что в момент в системе находилось n требований и при всем этом , разумеется, равна С другой стороны, система попадает в это состояние, если в момент t Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... в ней находилось требований и за время одно требование окончило сервис. Возможность такового действия равна . Следует, но, держать в голове, что в случае система может перейти в обозначенное состояние, если в момент t в ней Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... отсутствовали требования и за время поступило одно требование. Возможность такового действия равна . Совсем имеем

. (5.20)

Из соотношений (18)(20) обыденным образом при получаем последующую систему уравнений:

(5.21)

; (5.22) . (5.23)

Так как в случае при есть пределы и Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... , , то из соотношений (5.21)–(5.23) при вытекает последующая система уравнений:

; (5.24)

; (5.25)

. (5.26)

Уравнение с номером n в формуле (5.24) умножим на а дальше просуммируем все приобретенные уравнения по n (). В итоге получим уравнение для ПФ , определенной Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... формулой (5.16):

. (5.27)

Схожим образом, переходя к ПФ в соотношении (5.26), получаем

. (5.28)

Из соотношения (5.25) следует, что , потому формулу (5.28) можно представить в виде

. (5.29)

С учетом определения функции (см. соотношение (2.22)) находим, что решение уравнения (5.27) имеет вид

. (5.30)

Подставив приобретенное значение в Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... соотношение (5.29), приходим к соотношению

.

Так как то . Тогда из формулы (5.30) имеем

. (5.31)

Заметим, что таковой же итог выходит в этом случае, если заместо процесса рассматривать процесс , где – продолжительность промежутка времени от момента t до момента окончания обслуживания требования Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,..., сервис которого имеет место в момент времени t. Другими словами, в этом случае, если является вероятностью того, что в системе в стационарном режиме находится n требований , остаток времени обслуживания обслуживаемого в Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... этот момент требования удовлетворяет включению и , просто получить (аналогичным образом), что , где определяется соотношением (5.31).

Из соотношений (5.17) и (5.31) находим

,

либо по-другому

.

Так как , как надо из условия нормировки , то в силу соотношения Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... (5.14) совсем получаем вновь формулу Поллачека – Хинчина:

. (5.32)

Так как существует взаимно-однозначное соответствие меж рассредотачиваниями вероятностей , , , и ПФ и соответственно, то из равенства следует равенство для всех . Данный факт, доказанный другим методом А. Я Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,.... Хинчиным, именуется законом стационарной очереди.

Заметим, что соотношению (5.32) в случае вещественных z можно, воспользовавшись способом введения дополнительного действия, придать определенный вероятностный смысл: пусть каждое требование, не зависимо от других, является красноватым с вероятностью z Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... либо голубым с вероятностью . Тогда имеет смысл вероятности того, что в стационарном режиме в системе могут находиться только красноватые требования (либо, что то же самое, нет ни 1-го голубого Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... требования).

Заметим также, что рассредотачивание числа требований в системе не находится в зависимости от очередности их обслуживания.

Из формулы (5.32) вытекают последующие соотношения для стационарных моментов числа требований в системе:

;

,

где – 3-ий момент времени обслуживания.


^ 5.6. Время Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... ожидания и время пребывания


Рассредотачивание времени ожидания и времени пребывания требования в системе зависит, разумеется, от дисциплины обслуживания. Представим, что требования обслуживаются в порядке их поступления в систему (дисциплина FIFO). Пусть – время обслуживания Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... n-го требования, . Обозначим через время его ожидания и через время его пребывания в системе. Введем надлежащие ФР

.

В случае есть пределы (это следует из теории полумарковских процессов)

,

которые представляют собой ФР Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... СВ W и V соответственно. Функции и именуются стационарными ФР времени ожидания и времени пребывания соответственно. Тогда

,

где при в смысле сходимости по рассредотачиванию. СВ W и V именуются стационарными временем ожидания и Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... временем пребывания соответственно. Разумеется, для анализируемой СМО имеем , где – время обслуживания n-го требования, при этом СВ и независимы. Введем ПЛС СВ и :

.

С учетом параметров ПЛС и того факта, что Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... сервис требований является рекуррентным, получаем

, (5.33)

где – ПЛС времени обслуживания (СВ ). Тогда для ПЛС



стационарного времени ожидания W и стационарного времени пребывания V получаем после перехода к лимиту при в соотношении (5.33):

. (5.34)

Найдем . С учетом принятой Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... дисциплины обслуживания приходим к выводу, что после окончания обслуживания некого требования в системе останутся те и только те требования, которые поступили в течение времени его пребывания в системе. Потому нужным Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... и достаточным условием того, чтоб в стационарном режиме в системе в момент окончания обслуживания требования находилось j других требований (возможность этого действия равна, как мы знаем, ), есть поступление в систему за время пребывания обозначенного требования Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... j требований. Отсюда следует, что

,

откуда



Из формулы Поллачека – Хинчина (5.14) следует, что

,

откуда после подстановки имеем

. (5.35)

Из формулы (5.35) вытекают последующие выражения, дозволяющие вычислить два первых момента стационарного времени ожидания:

;

.

Из соотношений (5.34) и (5.35) следует Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,..., что

.

Моменты стационарного времени пребывания можно найти конкретно из последнего соотношения, также пользуясь тем, что СВ W и (время обслуживания) независимы, а как следует

;

.

Просто проверить, что для анализируемой СМО справедливы формулы Литтла.


^ 5.7. Виртуальное время ожидания

и виртуальное Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... время пребывания


Определение 3. Под виртуальным временем ожидания (пребывания), подходящим моменту времени , понимают продолжительность () времени ожидания (пребывания) в системе фиктивного требования, если представить, что оно поступило в систему в момент времени .


В Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... ТМО понятия виртуального времени ожидания и виртуального времени пребывания вводятся с целью упрощения вычислений, так как для неких определенных СМО вычисление виртуальных черт оказывается более обычным. Пусть, к примеру, имеется СМО , в Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... какой входной поток не является простым, т. е. требования поступают в систему группами случайного размера. Определение времени ожидания для таковой СМО просит, разумеется, установления очередности обслуживания требований снутри каждой поступившей группы. В Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... то же время определение виртуального времени ожидания в таковой системе является обычным и естественным.

Найдем рассредотачивание введенных СВ в стационарном режиме для СМО в случае дисциплины FIFO.

Пусть , – ФР виртуального времени Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... ожидания и виртуального времени пребывания соответственно.

Из теории полумарковских процессов следует, что при есть не зависимые от исходных критерий пределы

,

которые представляют собой ФР неотрицательных СВ и , именуемых стационарным виртуальным временем ожидания и стационарным виртуальным Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... временем пребывания соответственно, так что , , т. е. при по рассредотачиванию. Не считая того, разумеется, и СВ и независимы. Введем последующие ПЛС:

, .

Разумеется, . Найдем функцию в случае дисциплины FIFO.

Представим, что в исходный Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... момент времени в системе отсутствовали требования (такие исходные условия именуются нулевыми), т. е. . Разумеется, что является ФР продолжительности промежутка времени, начинающегося в момент и заканчивающегося (в случае дисциплины FIFO) в момент освобождения системы Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... от требований, поступивших в нее до момента .

Дальше будем воспользоваться способом введения дополнительного действия. Будем считать, что независимо от поведения системы происходят катастрофы, образующие простой поток с параметром . Назовем требование нехорошим Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,..., если за время его обслуживания наступит, по последней мере, одна трагедия (возможность такового действия равна ). Поток нехороших требований является, разумеется, простым с параметром . Нужным и достаточным условием того, чтоб во временном интервале в Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... систему не поступило ни 1-го отвратительного требования (возможность такового действия равна ), является пришествие 1-го из последующих несовместных событий:

  1. или трагедия не наступила ни за время  (возможность этого действия равна ), ни в Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... промежутке времени от момента  до момента освобождения системы от требований, поступивших до момента  (возможность этого есть );

  2. или трагедия наступила в некий момент времени x до момента  (возможность этого действия равна Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... ), когда в системе отсутствовали требования (возможность этого есть ), а дальше за время в систему не поступали нехорошие требования (возможность этого действия равна ) для всех .

В итоге получаем уравнение

,

решение которого относительно дает

, (5.36)

откуда при можно Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... отыскать . Для этого правую часть формулы (5.36) представим в виде



Пользуясь правилом Лопиталя, находим

,

где, как понятно, . В итоге получаем

,

и аналогично для ПЛС стационарного виртуального времени пребывания имеем

.

Как следует, для СМО стационарные рассредотачивания виртуального времени Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... ожидания и виртуального времени пребывания совпадают со стационарными рассредотачиваниями «обычных» времени ожидания и времени пребывания соответственно.


^ 5.8. Личные случаи системы M/G/1/


Разглядим два принципиальных варианта.

1. Система M/M/1/. В данном случае ФР времени обслуживания Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... имеет вид ; ; . Из формулы Поллачека – Хинчина (5.32) следует, что

,

откуда получаем

.

Отсюда вытекают последующие соотношения:

.

Из формулы (5.35) следует, что

.

Воззванием преобразования Лапласа можем в данном случае отыскать очевидный вид ФР стационарного времени ожидания:

.

1-ые Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... два момента времени ожидания при всем этом равны

.

Для ФР стационарного времени пребывания имеем

.

Заметим, что анализируемая СМО является также личным случаем системы .


2. Система M/D/1/. Для данной СМО имеем Потому

.

ПФ числа требований в Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... СМО в стационарном режиме, как надо из формулы (5.32), имеет вид

,

откуда при помощи дифференцирования функции в точке используя характеристики ПФ, получаем

(5.37)


Из соотношения (5.35) следует, что

.

Обращая преобразование Лапласа (к примеру, при помощи таблиц), приходим Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид - 5 Предварительные замечания смо будем исследовать, как это принято,... к выводу, что ФР стационарного времени ожидания в данном случае имеет вид

,

где , что значит выполнение неравенства ;

.

Разумеется, ФР стационарного времени пребывания в данном случае имеет вид









tolko-dlya-besplatnogo-rasprostraneniya-3-glava.html
tolko-dlya-besplatnogo-rasprostraneniya-9-glava.html
tolko-fakti-gazeta-karavanya-08082012-rossijskie-smi-o-mchs-monitoring-za-13-avgusta-2012-g.html