ТОЧКИ РАЗРЫВАФУНКЦИИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

Однобокие ПРЕДЕЛЫ

Если , но , то принято писать . Если , но , то пишут .

Пределы (если они есть)

, и

именуют соответственно пределом слева функции в точке а и пределом справа функции в точке а.

Равенство является нужным и достаточным условием для существования предела функции в точке а. Пределы справа и слева именуются однобокими ТОЧКИ РАЗРЫВАФУНКЦИИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ.

Примеры: Отыскать однобокие пределы последующих функций:

1) при .

, , отсюда видно, что если , то . . Пределы оказались неравными, как следует, предела функции в точке не существует.

2) , ( ) при .

, т.к.

, т.к. .

Пределы оказались неравными, как следует, предела функции в точке не существует.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ.

Определение.Функция непрерывна в точке , если она определена ТОЧКИ РАЗРЫВАФУНКЦИИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ в округи этой точки и существует предел

Определение детализируется в последующих критериях:

1) Функция должна быть определена в точке , другими словами должно существовать значение

2) Должен существовать общий предел функции . Как отмечалось выше, это предполагает существование и равенство однобоких пределов: .

3) Предел функции в данной точке должен быть равен значению функции в ТОЧКИ РАЗРЫВАФУНКЦИИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ этой точке:

Отсюда следует, что либо , т.е. если функция непрерывна в точке , то нескончаемо малому приращению аргумента в этой точке соответствует нескончаемо маленькое приращение функции .

Справедливо и оборотное утверждение: если нескончаемо малому приращению аргумента соответствует нескончаемо маленькое приращение функции, то функция непрерывна, т.к. в данном случае из соотношения (5) следует предел ТОЧКИ РАЗРЫВАФУНКЦИИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ (4). Как следует, для того, чтоб функция была непрерывна в точке , нужно и довольно, чтоб ее приращение в этой точке стремилось к нулю вкупе с приращением аргумента .

Функция, непрерывная в каждой точке некой области, именуется непрерывной в этой области.

Функция, непрерывная в каждой точке собственной области определения, непрерывна и ТОЧКИ РАЗРЫВАФУНКЦИИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ во всей этой области.

Если две функции и непрерывны в точке , то в этой же точке непрерывны и функции ; ; (если ).

ТОЧКИ РАЗРЫВАФУНКЦИИ И ИХ Систематизация

Если условие непрерывности функции в точке не выполнено, то функция имеет разрыв в этой точке.

Молвят, что функция имеет разрыв в точке первого рода, если есть ТОЧКИ РАЗРЫВАФУНКЦИИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ конечные пределы и , при этом

1.Если , то именуется неискоренимой точкой разрыва.

2.Если , именуется устранимой точкой разрыва, если существует.

Функция имеет в точке разрыв второго рода, если хотя бы одних из однобоких пределов функции в этой точке не существует, или равен бесконечности.

Если , то разность именуется скачком функции в ТОЧКИ РАЗРЫВАФУНКЦИИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ точке (разрыв второго рода – неискоренимый).

Пример: Для функции имеем

, но

.

Как следует, точка х = 2 является точкой устранимого разрыва функции .

Примечание: Термин «устранимый разрыв» оправдан тем, что довольно доопределить либо переопределить (восполнить) функцию в точке. В рассмотренном примере необходимо положить в , тогда функция

является непрерывной в точке .

Пример: Для функции точка х = 0 является точкой разрыва ТОЧКИ РАЗРЫВАФУНКЦИИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ,

т.к. в этой точке функция не определена ( не существует). При всем этом , . Как следует, точка является точкой разрыва первого рода, а - скачок данной функции

(т.е. если мы пополним эту функцию некий одной точкой, она все равно остается разрывной).


tochnij-poryadok-konkursnoj-programmi-budet-sostavlen-i-napravlen-vsem-uchastnikam-po-elektronnoj-pochte.html
tochnoe-i-besprekoslovnoe-vipolnenie-trebovanij-signalov-ustanovlennih-instrukciej-obespechivaet-bezopasnost-i-besperebojnost-dvizheniya-poezdov-i-manevrovoj-raboti-signali.html
tochnoe-raspisanie-po-vremeni-festivalya-konkursa-budet-opublikovano-9-marta-2016.html