Точечная оценка математического ожидания

Задана случайная величина Х: х1, х2, …, хn, потому что М(Х) не отыскать, то для математического ожидания случайной величины Х естественно предложить среднее арифметическое

(1.3)

её наблюденных значений.

1. По способу произведений

, ,

потому что

.

Это и значит, что оценка несмещенная.

2. Если исследуемая случайная величина Х имеет конечную дисперсию, то эта оценка будет безбедной, потому Точечная оценка математического ожидания что

.

Если исследуемая величина имеет обычный закон рассредотачивания, то можно показать, что предложенная оценка эффективна, т. е. оценки для математического ожидания с наименьшей дисперсией не существует для нормально распределенных величин

  1. Понятие оценки числовой свойства либо параметра рассредотачивания. Характеристики точечных оценок. Выборочная оценка дисперсии, ее характеристики.

Оценивание характеристик рассредотачивания осуществляется в два шага. На Точечная оценка математического ожидания первом шаге, на основании подборки х1, х2, ... , ,хn ,строится статистика

,

значение которой при данной выборке х1, х2, ... , ,хn принимают за приближенное значение оцениваемого параметра а :

а .

Потому что параметр генеральной совокупы оценивается числом, которое на числовой оси изображается точкой, то оценку именуют точечной.

Для того чтоб оценка имела практическую ценность она Точечная оценка математического ожидания должна владеть последующими качествами.

1. Несмещенность оценки. Оценка именуется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупы:

В неприятном случае оценка именуется смещенной и допускает периодическую ошибку.

2. Состоятельность оценки. Оценка именуется безбедной, если она по вероятности с повышением объема подборки п стремится к параметру генеральной совокупы:

Это условие Точечная оценка математического ожидания будет производиться, если

и оценка является несмещенной. Подтверждение этого основано на неравенстве Чебышева.

3. Эффективность оценки. Если составлять огромное количество несмещенных и состоявшихся оценок, то эти оценки будут иметь различные дисперсии. Ясно, что, чем меньше будет дисперсия, тем меньше будет возможность тяжелейшей ошибки при определении приближенного параметра генеральной совокупы Точечная оценка математического ожидания. Потому необходимо избрать такую оценку, у которой дисперсия была бы малой:

Такая оценка именуется действенной.

Выборочная дисперсия охарактеризовывает разброс (рассеивание) значений вариант хi от выборочного среднего значения хв и измеряется в квадратных единицах измерения признака Х

Св-ва: Выборочные дисперсии Dв и S2 являются безбедными

оценками для генеральной дисперсии

  1. Внедрение способа моментов для получения Точечная оценка математического ожидания точечной оценки характеристик непрерывного равномерного рассредотачивания

Способ моментов оценивания характеристик рассредотачивания генеральной совокупы заключается в том, на основании подборки х1, х2, ..., хn рассчитываются выборочные моменты (исходные либо центральные). Приобретенные значения равняются подходящим теоретическим моментам. Количество моментов должно ровняться числу оцениваемых характеристик. Потом решают полученную систему уравнений относительно этих характеристик Точечная оценка математического ожидания.

По выборке х1, х2, ... , хп способом моментов отыскать точечные оценки характеристик а1, а2 равномерного рассредотачивания на интервале [а1, а2]:

Решение. Используя подборку х1, х2, ... , хп, находим выборочные 1-ый исходный и 2-ой центральные моменты:

, ,( ) (8.2)

Для равномерного рассредотачивания имеем теоретические моменты

, .

Прировняем теоретические моменты выборочным и получаем систему 2-ух уравнений с Точечная оценка математического ожидания 2-мя неведомыми для нахождения оценок характеристик а1, а2:

Решая эту систему, получаем в окончательном виде

, ,

где величины , определены соотношениями (2)

  1. Внедрение способа моментов для получения точечной оценки характеристик обычного рассредотачивания.

По выборке х1, х2, ... , хп способом моментов отыскать точечные оценки характеристик mx и обычного рассредотачивания:

.

Решение. Потому что 1-ый исходный момент Точечная оценка математического ожидания обычного рассредотачивания равен параметру тх., а 2-ой центральный момент равен параметру ,

то

, .

  1. Внедрение способа моментов для получения нахождения оценки параметра показательного рассредотачивания.

Пример. Пусть Х – непрерывная случайная величина подчинена показательному (экспоненциальному) закону, плотность рассредотачивания которого находится в зависимости от 1-го неведомого параметра :

, х 0.

Используя приобретенные экспериментальные данные х1, х2, ... , хn, получить Точечная оценка математического ожидания оценку параметра .

Решение. На основании подборки х1, х2, ... , хn находим 1-ый выборочный момент и приравниваем его первому моменту случайной величины Х, подчиненной показательному закону:

= = .

Отсюда получаем оценку параметра :

.▄

Статистика

9-12

9. Внедрение способа моментов для получения характеристик биномиального рассредотачивания и геометрического рассредотачивания

Способ моментовоснован на приравнивании моментов (центральных, исходных) СВ X к Точечная оценка математического ожидания их выборочным оценкам. При всем этом число составляемых уравнений равно числу неведомых характеристик.

Пример. Пусть Х ~ R(a, b), где a и b - неведомые характеристики. Необходимо отыскать точечные оценки A и B характеристик a и b соответственно.

Согласно этому способу необходимо вычислить два момента (исходный 1-го порядка и центральный Точечная оценка математического ожидания 2-го порядка) СВ X: mX = (a+b)/2 и DX = (b-a)2/12 и составить два уравнения (1) и (2), приравнивая моменты (A+B)/2 и (B-A)2/12 к их подходящим выборочным значениям

и . Как следует:

10 Главные рассредотачивания, применяемые в математической статистике:

рассредотачивание хи- квадрат. Примеры использования рассредотачивания

Обычное рассредотачивание играет только важную роль в математической статистике. Такое рассредотачивание Точечная оценка математического ожидания более нередко встречается на практике. Основная особенность, выделяющая обычное рассредотачивание посреди других рассредотачиваний, заключается в том, что оно является предельным, к которому приближаются другие рассредотачивания при очень нередко встречающихся обычных критериях.

Рассредотачивание случайной величины именуется обычным, если это рассредотачивание характеризуется плотностью последующего вида

где математическое ожидание , а среднеквадратическое отклонение Точечная оценка математического ожидания ( дисперсия). Таким макаром, мы лицезреем, что обычное рассредотачивание описывается 2-мя параметрами и .

Замечание 1. Общим именуют обычное рассредотачивание с случайными параметрами и . Замечание 1*. Нормированной именуют обычное рассредотачивание с параметрами и
Замечание 2. Генеральная совокупа именуется обычной, если она распределена нормально.

Рассредотачивание главных статистик, которые рассчитываются по выборке из нормально распределенной генеральной Точечная оценка математического ожидания совокупы, связаны с рассредотачиванием “хи-квадрат” и Стьюдента .

Рассредотачиванием с степенями свободы именуется рассредотачивание случайной величины , равной сумме квадратов независящих нормально распределенных по закону случайных величин , другими словами величины

Плотность этого рассредотачивания

где – палитра функция; а именно,

Отсюда видно, что рассредотачивание “хи квадрат” определяется одним параметром – числом степеней свободы .

Замечание 3. С повышением Точечная оценка математического ожидания числа степеней свободы рассредотачивание медлительно приближается к нормальному.

Рассредотачиванием Стьюдента с степенями свободы именуется рассредотачивание случайной величины , равной отношению 2-ух независящих случайных величин и , другими словами

,

где имеет обычное рассредотачивание .

Замечание 4. С возрастанием числа степеней свободы рассредотачивание Стьюдента стремительно приближается к нормальному рассредотачиванию.


to-chto-vi-smogli-uvidet-v-sebe-i-prinyat-vi-vsegda-smozhete-raspoznat-i-prinyat-takzhe-v-drugih-lyudyah.html
to-chto-zhivo-to-i-est-nastoyashee.html
to-download-individual-presentations-visit-the-pmi-cpm-electronic-library.html